spin tensor

$ \bm w:=\frac12(\bm l-\bm l^\top)={\cal\pmb W}:\bm l

速度勾配tensor$ \bm lの反対称成分

性質

$ {\Large\bm\epsilon}を通じて渦度$ \bm\Omegaと相互変換できる

$ \bm\Omega={\Large\bm\epsilon}:\bm w={\Large\bm\epsilon}:\bm l

$ {\Large\bm\epsilon}:{\cal\pmb W}={\Large\bm\epsilon}なのでどちらを使ってもいい

$ \bm w=\frac12{\Large\bm\epsilon}\cdot\bm\Omega

変形勾配tensor$ \bm Fを極分解して得た直交tensor$ \bm Rとの関係

剛体運動($ \bm U=\bm 0)のとき$ \bm w=\dot{\bm R}\cdot\bm R^\top

$ \bm Uの主軸が時間変化しないときも$ \bm w=\dot{\bm R}\cdot\bm R^\top

$ \because (\dot{\bm U}\cdot\bm U^{-1})^\top=\dot{\bm U}\cdot\bm U^{-1}

根拠となる導出は後述

極分解$ \bm F=\bm R\cdot\bm Uを使った書き換え

$ \bm w={\cal\pmb W}:\left.((\dot{\bm R}\cdot\bm U+\bm R\cdot\dot{\bm U})\cdot(\bm R\cdot\bm U)^{-1})\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}

$ ={\cal\pmb W}:\left.((\dot{\bm R}\cdot\bm U+\bm R\cdot\dot{\bm U})\cdot\bm U^{-1}\cdot\bm R^{-1})\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}

$ ={\cal\pmb W}:\left.(\dot{\bm R}\cdot\bm R^{-1}+\bm R\cdot\dot{\bm U}\cdot\bm U^{-1}\cdot\bm R^{-1})\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}

$ ={\cal\pmb W}:\left.(\dot{\bm R}\cdot\bm R^\top+\bm R\cdot\dot{\bm U}\cdot\bm U^{-1}\cdot\bm R^\top)\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}

$ =\left.(\dot{\bm R}\cdot\bm R^\top+{\cal\pmb W}:(\bm R\cdot\dot{\bm U}\cdot\bm U^{-1}\cdot\bm R^\top))\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}

直交tensorの微分は、反対称tensorの微分と元の直交tensorの積に分解の式展開より$ \dot{\bm R}\cdot\bm R^\topは反対称tensorなので、$ {\cal\pmb W}:(\dot{\bm R}\cdot\bm R^\top)=\dot{\bm R}\cdot\bm R^\topである